Che cos’è la matematica?
Non dovete meravigliarvi, ma sappiate che essa probabilmente ha origine dalla musica, almeno nel senso a cui accennerò brevemente qui di seguito.
Anche gli orfici, come già molti nell’antichità, si astenevano dall’uccidere animali o mangiare carne perché ritenevano che la natura non dovesse essere violata. Una delle maggiori leggende su Orfeo diceva che egli avesse comunicato con gli animali e le creature dell’oltretomba mediante il suono “armonico” della sua lira.
Come aveva potuto la musica fare questo? E cosa, in effetti, voleva significare?
Un altro maestro dell’antichità, fu Pitagora (ca. 570- ca. 495 a.C.). A lui toccherà andare brevemente, in particolare per quanto attiene all’originale scoperta – che, come abbiamo visto, è cosa diversa dall’invenzione – che egli fece nel campo della fisica, ovvero, testimonia de Santillana, il fatto che “gli intervalli della scala musicale possono essere esattamente espressi in termini di rapporti semplici. Modificando la lunghezza delle corde su un monocordo con ponticello mobile, egli scoprì che il rapporto dell’ottava è 1:2; della quarta, 4:3; della quinta 3:2. Questi sono gli intervalli fissi comuni a tutte le scale greche. I numeri ricorrenti in questi rapporti sono 1, 2, 3, 4, la somma dei quali è 10, il numero perfetto. Così perfetto e potente, in verità, che Pitagora lo adorò come la Tetraktys Divina Non Generata, ‘la fonte che contiene le radici della natura inesauribile’, simbolo della Unità Superiore nella quale si dispiega l’Uno. Così nacque la teoria: ‘Tutte le cose sono numeri’, il che significava, per dirla all’antica, ‘la Natura delle cose è il numero’”.
E con i numeri ha a che fare, la matematica. Mentre soltanto con i numeri ha a che fare, l’aritmetica, che costituisce peraltro la branca più antica della matematica.
Il metodo seguito dalla matematica è di tipo assiomatico. Si dice che un giorno il tanto celebrato Archimede (287 a.C. ca. – 212 a.C.), siracusano, abbia detto datemi un punto di appoggio e vi solleverò il mondo. A tale proposito, pare che egli non avesse fatto riferimento solo al principio della leva, piuttosto alla questione del “principio” in generale. L’assioma è dunque considerato: un principio evidente per sé, e che perciò non ha bisogno di esser dimostrato, posto a fondamento di una teoria deduttiva. In proposito, gli antichi parlavano di “autoevidenza” e quindi principi autoevidenti.
Ai fini della “dimostrazione”, la stessa cosa che accade mediante la tecnica del sillogismo inventato da Aristotele. Abbiamo già sottolineato che “ancora nel 1787, il filosofo tedesco Immanuel Kant poteva dire che dai tempi di Aristotele la logica formale ‘non è stata capace di fare un solo passo, e che, secondo tutte le apparenze, è un corpo dottrinario chiuso e completo’” (in E. NAGEL e J. R. NEWMAN, La prova di Godel). E purtuttavia – a parte la dimostrazione (1847) di George Boole circa la possibilità di sviluppare deduzioni più generali di quelle che si erano finora compiute attraverso i principi della logica aristotelica -, restava ancora irrisolto (o irrisolvibile) il problema della dimostrazione dell’assioma e quindi della coerenza del sistema che, posto a fondamento l’assioma, era deducibile.
David Hilbert, matematico tedesco (1862-1943), pensò allora “di costruire dimostrazioni ‘assolute’, mediante le quali la coerenza di un sistema avrebbe potuto essere dimostrata senza ricorrere alla coerenza di un altro sistema” (La prova di Godel op. cit.). Ma, tale tentativo fu sonoramente, si fa per dire, bocciato da un altro illustre matematico austriaco, Kurt Godel.
Cos’ha detto Godel?
Egli ha elaborato due teoremi algebrici, che, per chi non s’intende del linguaggio e quindi di tecnica algebrica, necessitano di un’esplicativa ed efficace sintesi semantica. E allora eccone una, comunemente piuttosto sintetica ed esplicativa:
“… nel suo famoso articolo (1931), dimostrò due teoremi riguardanti l’incompletezza di certi sistemi formali (sufficientemente complessi da poter formalizzare l’aritmetica fondamentale) in logica matematica. Il primo teorema di Godel esibisce una proposizione che non è dimostrabile né refutabile all’interno del sistema formale dato, a condizione che questo sistema sia coerente (Tuttavia, si può vedere, usando argomenti che non possono essere formalizzati all’interno del sistema, che questa proposizione è vera). Il secondo teorema di Godel asserisce che, se il sistema è coerente, è impossibile dimostrare questa proprietà con strumenti che siano formalizzabili all’interno del sistema stesso” (A. SOKAL e J. BRICMONT, Imposture intellettuali). Invece, è sempre possibile dimostrare, in ciascun ambito proprio, se il sistema sia incoerente, vale a dire: autocontraddittorio.
Per la dimostrazione necessaria, Godel dice che occorrerebbe rifarsi al principio posto da un altro sistema, in ordine al quale usa la dicitura “metamatematica”, e in base al quale egli ipotizza, e quindi non esclude né può escludere la possibilità che esista “una prova finitistica non suscettibile di una rappresentazione o formulazione aritmetica”, qualcosa di cui esattamente non si sa cosa sia.
Sappiamo che Aristotele avrebbe senz’altro obiettato che il numero è essenzialmente “forma” e non viceversa “sostanza”. E in effetti, lo stesso Godel, parafrasando Platone, ha lasciato comunque aperta la possibilità che “Le classi e i concetti possono … essere concepiti come oggetti reali … esistenti indipendentemente dalle nostre definizioni e costruzioni. Mi sembra che l’ipotesi dell’esistenza di tali oggetti sia altrettanto legittima dell’ipotesi dell’esistenza dei corpi fisici, e vi sono molte ragioni per credere nella loro esistenza” (La prova di Godel op. cit.). Un’ultima annotazione: “… l’idea di una soluzione finale di un problema filosofico, in questo caso il perché del perché o fondamento ultimo della scienza, fa ridere o fremere. Eppure pare che già il primo uomo delle caverne, meditando al chiaro di luna, sapesse che mai sarebbe giunto al ‘perché del perché’ … Quello che i formalisti hanno in mente è un modello meccanico e meccanicistico della matematica (e del mondo) nel quale tutto potrebbe essere ricondotto a giochi simbolici effettuati da un calcolatore gigantesco … Piuttosto che dispiacerci che Godel ci abbia allontanati dalla soluzione finale, rallegriamoci per gli spazi da lui lasciati alla creatività” (La prova di Godel op. cit.). E così, spero l’avrete notato anche voi: ri-torna l’immagine di Lucy e del-lo spazio-aperto.
Angelo Giubileo
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